7 二阶电路

$LC$ 电路中的正弦震荡

储能为 $w(t)=\frac{1}{2}L{i}^2(t)+\frac{1}{2}C{u}^2(t)=w(0)$

$RLC$ 串联电路的零输入响应

$RLC$ 串联电路的零输入响应的 $VCR$ 方程为

$$\{\begin{array}{l}i=C\frac{d{u}_C}{dt}\\ u_R=Ri=RC\frac{d{u}_C}{dt}\\ u_L=L\frac{di}{dt}=LC\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}\end{array}$$

研究零输入响应，故 $u_{OC}=0$. $LC\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=u_{OC}(t)=0$ 特征方程 s_{1,2} = -\frac 1{\tau_{1,2}}$$$$LCs^2 + RCs + 1=0 特征根 $s_{1,2}=-\frac{R}{2L}\pm \sqrt{(\frac{R}{2L}{)}^2-\frac{1}{LC}}$

• $(\frac{R}{2L}{)}^2>\frac{1}{LC}$, 即 $R>2\sqrt{\frac{L}{C}}$ 过阻尼
• $(\frac{R}{2L}{)}^2=\frac{1}{LC}$, 即 $R=2\sqrt{\frac{L}{C}}$ 临界阻尼
• $(\frac{R}{2L}{)}^2<\frac{1}{LC}$, 即 $R<2\sqrt{\frac{L}{C}}$ 欠阻尼

过阻尼

$u_C(t)=K_1{e}^{s_{1}t}+K_2{e}^{s_{2}t}$

由 $u_C(0)$ 和 $u_C^{\prime }(0)$ 求出参数 $K_{1,2}$.

$i_L(t)=C\frac{d{u}_C}{dt}$

临界阻尼

$i_L(t)=K_1{e}^{s_{1}t}+K_{2}t{e}^{s_{2}t}=(K_1+K_{2}t)e^{st}$ $s=-\frac{R}{2L}$

欠阻尼

$u_C(t)=e^{-\alpha t}[K_1\cos ({\omega }_{d}t)+K_2\sin ({\omega }_{d}t)]$ $s_{1,2}=-\frac{R}{2L}\pm j\sqrt{\frac{1}{LC}-(\frac{R}{2L}{)}^2}=-\alpha \pm j{\omega }_d$ 特征根为共轭复数, 响应是震荡形的.

特征根的实部 $\alpha$ 被称为衰减系数; 虚部 ${\omega }_d$ 被称为衰减震荡角频率.

由初始条件带入解得 $K_1,K_2$, 解出 $u_C$, 通过 $i_L=C\frac{d{u}_C}{dt}$ 解得 $i_L$.

$RLC$ 串联电路的零状态响应和全响应

$LC\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+RC\frac{d{u}_C}{dt}+u_C=u_{OC}$ 上列方程的通解, 即电路的全响应, 可视作为零输入响应和零状态的叠加.

$GLC$ 并联电路的零输入响应, 零状态响应和全响应

$LC\frac{d^2{i}_L}{d{t}^2}+GL\frac{d{i}_L}{dt}+i_L(t)=i_{SC}$