2.2 高阶导数

莱布尼茨公式

$(u\cdot v{)}^{(n)}={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^k$

常用公式

• $(a^x{)}^{(n)}=a^x{\ln }^{n}a$
• $(e^x{)}^{(n)}=e^x$
• $(\sin kx{)}^{(n)}=k^n\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{2})$
• $(x^a{)}^{(n)}=a(a-1)...(a-n+1)x^{a-n}$
• $(\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(x{)}^n}$
• $(\frac{1}{x}{)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{n!}{x^{x+1}}$
• $(\frac{1}{x+a}{)}^{(n)}=(-1{)}^n\frac{n!}{(x+a{)}^{n+1}}$

隐函数的高阶导数

方程两边对 $x$ 求导

参数方程的二阶导

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d\frac{\frac{dy}{dx}}{dt}}{\frac{dy}{dt}}$

含有抽象函数的复合函数的高阶求导