1.5 极限的运算法则

定理 1.5.1 在自变量的同一种变化趋势下, $limf(x)=A$, $\lim g(x)=B$

1. $\lim |f(x)\pm g(x)|=\lim f(x)\pm \lim g(x)$
2. $\lim |f(x)\cdot g(x)|=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$
3. $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$ 定理可以推广到有限个函数的四则运算 #推论 1.5.1 如果 $\lim f(x)$ 存在, 而 $c$ 是常数, 则 $\lim [cf(x)]=c\lim f(x)$ #推论 1.5.2 如果 $\lim f(x)$ 存在, 而 $n$ 是正整数, 则 $\lim (f(x{)}^n)=(\lim f(x){)}^n$

复合函数的极限运算法则

$u=\phi (x),{\lim }_{x\to x_0}\phi (x)=u_0$, 在 $x_0$ 的某去心邻域内 $\phi (x)\ne u_0,{\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$, 则 ${\lim }_{x\to x_0}f[\phi (x)]={\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$.

求极限的方法

1. 设 $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{(n-1)}+...+a_n$, 则有 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a_0({\lim }_{x\to x_0}x{)}^n+a_1({\lim }_{x\to x_0}x{)}^{n-1}+...+a_n=a_0{x}_0^n+a_1{x}_0^{n-1}+...+a_0=f(x_0)$.
2. 消去零因子法 ($\frac{0}{0}$ 型)
3. 抓大放小 ($\frac{\infty }{\infty }$ 型)
4. $a_0\ne 0,b_0\ne 0,{\lim }_{x\to \infty }\frac{a_0{x}^m+...+a_0}{b_0{x}^n+...+b_n}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{b_0},& n=m\\ \infty ,& a>b\\ 0,& a<b\end{array}$.
5. 有理化 抓大放小
6. 变量代换
7. 通分法
8. 左右极限求分段函数极限

极限存在准则 数列的收敛准则

单调有界准则

如果数列单调增加/单调减少 #准则 1 单调有界数列必有极限 单增有上界或单增有下界的数列必有极限

证明单调性

• 做差
• 做商
• 数学归纳法
• 导数

夹逼准则

如果数列 $x_n,y_n,z_n$ 满足

1. $y_n\le x_n\le z_n$
2. ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=a,{\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$ 那么 $x_n$ 的极限存在, 且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$

两个重要极限

1. $\frac{0}{0}$ 型: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
2. $1^{\infty }$ 型: ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

恒等变形

$\lim u(x{)}^{v(x)}=\lim [1+(u(x)-1){]}^{\frac{1}{u(x)-1}[u(x)-1]v(x)}$