1.4 无穷小和无穷大

无穷小

在自变量的某种变化趋势之下, 若函数的绝对值无限减小, 则称函数为无穷小.

• 无穷小是变量, 不能和很小的数混淆
• 零是可以作为无穷小的唯一常数
• 一个函数是否为无穷小, 与自变量变化范围有关

无穷小与函数极限的关系

定理 1.4.1 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x)$, 其中 $\alpha (x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小

意义

• 将一般极限问题转化为特殊极限问题
• 给出了函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近的近似表达式 $f(x).=A$, 误差为 $\alpha (x)$

运算性质

定理 1.4.2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小 #定理 有界函数和无穷小的乘积仍然是无穷小 #推论 在同一过程中, 有极限的变量和无穷小的乘积是无穷小 #推论 常数和无穷小的乘积是无穷小 #推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小

无穷大

在自变量的某种变化趋势之下, 若函数的绝对值无限增大, 则称函数为无穷大.

• 无穷大是变量, 不能和很大的数混淆
• 切勿将 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$ 认为极限存在 #定义 如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$, 则 $x=x_0$ 是函数 $y=f(x)$ 的图形的铅直渐近线

无穷大和无穷小的关系

定理 1.4.4 在同一过程中, 无穷大的倒数为无穷小, 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大

运算性质

有限个无穷大的积仍是无穷大 无穷大和有界变量之和认为无穷大

• 两个无穷大的代数和未必是无穷大