1.3 极限的性质

唯一性

定理 1.3.1 若 $\lim f(x)$ 存在, 则极限唯一 以数列极限为例, 每一个收敛的数列只有一个极限.

有界性 局部有界性

$\exists M>0,|x_n|\le M,\text{则称数列}{x}_n\text{有界}$ #定理 1.3.2 收敛的数列必定有界 设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a,\epsilon =1,\exists N,\text{使得}n>N\text{时恒有}|x_n-a|<1,\text{即有}a-1<x_n<a+1$ 记 $M=max\{|x_1|,...,|x_N|,|a-1|,|a+1|\}$, 则对一切自然数 $n$ 皆有 $|x_n|\le M$, 则 $\{x_n\}$ 有界. #推论 无界数列一定发散 #定理 1.3.3.1 若 $li{m}_{x\to x_0}f(x)=A$, f(x) 在 $x_0$ 处局部有界, $\exists \delta >0$, 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时, $f(x)$ 局部有界. #定理 1.3.3.2 若 $li{m}_{x\to x_0}f(x)=A$, $\exists X>0$, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 有界.

保号性 局部保号性

定理 1.3.4 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$,$且A>0,则$\exists \delta > 0, x \in U^0(x_0, \delta)$时,$f(x)>0 #推论 若\lim_{x \to x_0}f(x) = A$,且$\exists \delta > 0$,当$x \in U^0(x_0, \delta)$时,$f(x)\ge0$,则$A\ge 0$.

保序性

定理 1.3.5 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$, ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=B$, 若 $\exists \delta >0$, $\forall x\in U^0(x_0,\delta )$ 时, $f(x)\le g(x)$, 则 $A\le B$

归并性

在过程 $x\to a$ 中有数列 $x_n(\ne a)$, 使得 $n\to \infty$ 时 $x_n\to a$, 则称数列 $f(x)$, 即 $f(x_1)...f(x_n),...$ 为 $f(x)$ 当 $x\to a$ 时的子列 #定理 若 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$, 数列 $f(x_n)$ 是 $f(x)$ 当 $x\to a$ 时的一个子列, 则 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$.

归并原理

函数极限与数列极限的关系 #定理 函数极限存在的充要条件时它的任何子列的极限都存在且相等.

1. 利用函数极限存在求函数子列的极限
2. 利用子列极限判断函数极限不存在

绝对值性质

定理 在自变量的某种趋向下, 如果 $\lim f(x)=A$, 则有 $\lim |f(x)|=|A|$. 该定理的逆不成立

$ex:\mathrm{sgn}(x)$