1.1 函数

函数

集合与区间

集合

• 全体
• 元素
• $a\in M$
• 空集是任何集合的子集

区间

• 有限区间
• 无限区间
  • $(-\infty ,b)$
  • $(a,+\infty )$

邻域

• $a$ 为中心 $\delta$ 为半径
• $U_{\delta }(a)=\{x|a-\delta <x<a+\delta \}$
• 左邻域 右邻域
• 内点
• 边界点

函数 概念

两大法则

• 定义域
• 对应法则

两大法则都相同，两个函数才相同

单值函数 多值函数

将多值函数拆分成多个单值函数

图形

点集 $C=\{(x,y)|x\in D,y=f(x)\}$ 为函数 $f(x)$ 的图像

分段函数

• 用几个式子表示一个函数
• 与函数定义没有任何矛盾 具有现实意义

常用分段函数

• 绝对值函数 $y=|x|$
• 符号函数 $y=\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0\end{array}$
• 取整函数 $y=[x]$
• 狄利克雷函数 $y=D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x为有理数\\ 0,& x为无理数\end{array}$
• 最值函数 $y=max\{f(x),g(x)\}$

显函数隐函数

隐函数

• 由 $F(x,y)=0$ 表示的函数
• 隐函数存在定理的条件

参数方程

若 (x,y) 都可以以表示为变量 t 的函数

$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$$

则称上式为曲线的参数方程

常用

椭圆方程

椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程表示为 $\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=b\sin t\end{array}$

摆线

$$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t),\\ y=a(1-\cos t).\end{array}$$

星形线

$$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^{3}t\\ y=a{\sin }^{3}t\end{array}$$

消去参数 $t$ 后可得直角坐标方程 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$

极坐标方程

• 极轴
• 逆时针方向 正方向
• 用形如 $M(\rho ,\theta )$ 表示平面中的点
  • 规定 $\rho \le 0,0\le \theta \le 2\pi$
• 极点处极角定义为任意角

直角坐标系和极坐标系之间的关系

x=\rho \cos \theta\\ y=\rho \sin \theta \end{cases}$$ $$\begin{cases} \rho = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \tan \theta = \frac{y}{x}\end{cases}

$\theta$ 为常数, 表示与 x 轴正向夹角为 $\theta$ 的一条射线 $\rho$ 为常数, 表示一极点为圆心, 以 $\rho$ 为半径的圆

• 极坐标方程与直角坐标方程互相转化

心形线

$\rho =a(1+\cos \theta )(a>0)$

双扭线

$${\rho }^2=a^2\cos 2\theta$$

$\rho =\sqrt{\cos 2\theta }(k\pi -\frac{1}{4}\pi \le \theta \le k\pi +\frac{1}{4}\pi )$

函数的几种性质

有界性, 单调性与区间有关

单调性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$, 区间 $I$ 是 $D$ 的子集

如果 I 上任意两点 $x_1$ 和 $x_2$, 当 $x_1$ < $x_2$ 时, $f(x_1)\le f(x_2)$ 单调递增, $f(x_1)<f(x_2)$ 严格单增. $f(x_1)\ge f(x_2)$ 单调递减, $f(x_1)>f(x_2)$ 严格单减.

奇偶性

$ex4$ 证明 任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和

$h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{-2}$ (偶函数) $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$ (奇函数) $\therefore f(x)=h(x)+g(x)$

有界性

$X\subset D$, $\exists M>0$, $\forall x\in X$, 有 $|f(x)|\le M$ 成立, 则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有界.

$X\subset D$, $\forall M>0$, $\exists x\in X$, 有 $|f(x)|>M$ 成立, 则称 $f(x)$ 在 $X$ 上无界.

• $X\subset D$, $\exists M>0$, $\forall x\in X$, 有 $f(x)\le M$ 成立, 则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界.
• $X\subset D$, $\exists M>0$, $\forall x\in X$, 有 $f(x)\ge M$ 成立, 则称 $f(x)$ 在 $X$ 上有下界.

有上界或有下界不一定有界

• 有界性与区间 $X$ 有关
• 有界充要条件是函数既有上界又有下界

周期性

复合函数 与 反函数

函数运算: 加减乘除幂

复合函数

$y=\sqrt{u},u=1-x^2,\to y=\sqrt{1-x^2}$

设 $f(x)$ 定义域为 $D_f$, 函数 $u=\phi (x)$ 的值域为 $Z_{\phi }$, $D_f\cap Z_{\phi }\ne \varnothing$, $f(u)=f(\phi (x))$ 为复合函数

1. 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的

$y=\arcsin u,u=2+x^2,y\ne \arcsin (2+x^2)$

2. 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成

$ex7$ 将 $y=arcta{n}^{10}(\sqrt[3]{x^2+6})$ 分解成几个简单函数复合

复合函数分解

$ex8$

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x<1\\ x,& x\ge 1\end{array}$, $\phi (x)=\{\begin{array}{ll}x+2,& x<0\\ x^2-1,& x\ge 0\end{array}$, 求 $f(|\phi (x)|)$.

$f(|\phi (x)|)=\{\begin{array}{ll}{e}^{\phi (x)},& \phi (x)<1\\ \phi (x),& \phi (x)\ge 1\end{array}$ $1^{\circ }$ 当 $\phi (x)<1$ 时 或 $x<0,\phi (x)=x+2<1\Rightarrow x<-1;e^{x+2}$ 或 $x\ge 0,\phi (x)=x^2-1\ge 1\Rightarrow x\ge \sqrt{2};x^2-1$ $2^{\circ }$ 当 $\phi (x)\ge 1$ 时 或 $x<0,\phi (x)=x+2\ge 1\Rightarrow -1\ge x<0;x+2$ 或 $x\ge 0,\phi (x)=x^2-1\ge 1\Rightarrow x\ge \sqrt{2};x^2-1$ 综上所述, $f(\phi (x))=\{\begin{array}{ll}{e}^{x+2},& x<-1\\ x+2,& -1\ge x<0\\ e^{x^2-1},& 0\ge x<\sqrt{2}\\ x^2-1,& x\ge \sqrt{2}\end{array}$

反函数

自变量 因变量 互相交换 同一条曲线

$y=f(x)\to x=f^{-1}(y)$

直接函数与反函数的图像关于直线 $y=x$ 对称 严格单调函数必有反函数

初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合运算所构成的, 并可以用一个十字表示的函数, 称为初等函数 不是初等函数的函数称为非初等函数

双曲函数 与 反双曲函数

双曲函数

双曲正弦 $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 双曲余弦 $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$ 双曲正切 $\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

反双曲函数

反双曲正弦 $\mathrm{arsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

反双曲余弦 $\mathrm{arcosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$

反双曲正切 $\mathrm{artanh}x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$