6 二次型和正定矩阵

$f(x_1,\dots ,x_n)=d_{11}{x}_1^2+\cdots +d_{1n}{x}_1{x}_n+\cdots +d_{nn}{x}_n^2$, 称为一个 $n$ 元二次型, 称 $x_i^2$ 为平方项, $x_i{x}_j$ 为交叉项.

令 $X=[x_1,x_2,\dots x_n{]}^T$, 则 $f(x_1,\dots ,x_n)=X^{T}AX$, $A$ 为二次型的矩阵, $r(A)$ 为二次型的秩.

定义 只含有平方项而不含有交叉项的二次型称为标准型.

$X=CY$, 若 $|C|\ne 0$, 则称线性替换是可逆的, 若 $C$ 为复方阵, 则称线性替换是复线性替换.

定理 可逆先行替换 $X=CY$ 将二次型 $f=X^{T}AX$ 变换为 $g=Y^{T}BY$, 且 $B=C^{T}AC$.

定义 若可逆矩阵 $C$ 使得 $B=C^{T}AC$, 则称 $A$ 合同于 $B$, 记为 $A\simeq B$. 满足自反性, 对称性, 传递性.

若 $n$ 阶方阵 $A$ 合同于对角阵 $B$, 则 $A$ 也合同于 $B$ 的任意重排.

转换为标准型的方法

定理 任意二次型可变换成标准型.

配方法

惯性定律 二次型的规范性

存在可逆复线性替换 $X=CY$ 将 $f$ 化为 $b_1{y}_1^2+\cdots +b_r{y}_r^2$, 再令 $y_1=\frac{1}{\sqrt{b_1}}{z}_1,\dots ,y_r=\frac{1}{\sqrt{b_r}}{z}_r$, 则可化为 $z_1^2,\dots ,z_r^2$, 称 $f=z_1^2+\cdots +z_r^2$ 为复二次型的规范性.

存在可逆实线性替换 $X=CY$ 将 $f$ 化为 $b_1{y}_1^2+\cdots +b_p{y}_p^2-b_{p+1}{y}_{p+1}^2-\cdots -b_r{y}_r^2$, 再令 $y_1=\frac{1}{\sqrt{b_1}}{z}_1,\dots ,y_r=\frac{1}{\sqrt{b_r}}{z}_r$, 则可化为 $z_1^2,\dots ,z_r^2$, 称 $f=z_1^2+\cdots +z_r^2$ 为复二次型的规范性.

实二次型的定性

设实二次型 $f(x_1,\dots ,x_n)=X^{T}AX$, 若 $f(c_1,\dots c_n)>0$, 则称 $f$ 是正定的, 同时称 $A$ 为正定矩阵. 若 $f(c_1,\dots c_n)\ge 0$, 且至少存在 $n$ 个不全为 $0$ 的实数 $c_1^{\prime },\dots ,c_n^{\prime }$ 使得 $f(c_1^{\prime },\dots c_n^{\prime })=0$, 则称 $f$ 是半正定的, 同时称 $A$ 为半正定矩阵.

设实二次型 $f(x_1,\dots ,x_n)=X^{T}AX$, 若 $f(c_1,\dots c_n)<0$, 则称 $f$ 是负定的, 同时称 $A$ 为负定矩阵. 若 $f(c_1,\dots c_n)\le 0$, 且至少存在 $n$ 个不全为 $0$ 的实数 $c_1^{\prime },\dots ,c_n^{\prime }$ 使得 $f(c_1^{\prime },\dots c_n^{\prime })=0$, 则称 $f$ 是半负定的, 同时称 $A$ 为半负定矩阵.

除此之外称为不定的, 矩阵 $A$ 称为不定矩阵.

定理 可逆的实线性变换不改变实二次型的定性.

实二次型中, 下列命题等价:

• $A$ 是正定矩阵
• $f(x_1,\dots ,x_n)$ 的正惯性指数为 $n$
• 存在可逆实矩阵 $B$ 使得 $A=B^{T}B$
• A 的 $n$ 个特征值都大于 $0$

性质 设 $A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$ 是正定矩阵, 则 $a_{ii}>0,|A|>0$.

定义 子式 ${\Delta }_k=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \dots & a_{1k}& \\ ⋮& & ⋮& \\ a_{k1}& \dots & a_{kk}& \end{array}\right|$ 称为 A 的 $n$ 阶顺序主子式. #定理 $A$ 的各阶顺序主子式 ${\Delta }_k=0$, 则 $A$ 为正定矩阵.