3 线性空间

数域

定义 3.1.1 设 $F$ 是一个数集, 若满足 $0,1\in F$, 对 $\forall a,b\in F$, 有 $a+b,a-b,a\times b,a/b(b\ne 0)\in F$, 就称 $F$ 是一个数域.

• 实数域 $R$
• 有理数域 $Q$
• 复数域 $C$

线性空间

定义 设 $V$ 为非空数集, 在 $V$ 上定义加法和数乘两种运算, 使得满足:

• $\alpha +\beta =\beta +\alpha$
• $(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$
• $\exists \theta \in V,\forall \alpha \in V,\alpha +\theta =\alpha$, 称 $\theta$ 为零元素
• $\forall \alpha \in V$, $\exists \eta \in V$, 使得 $\alpha +\eta =\theta$, 称为 $\alpha$ 的负元素, 记为 $-\alpha$
• $1\alpha =\alpha$
• $(kl)\alpha =k(l\alpha )$
• $(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha$
• $k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta$ 就称 $V$ 为 $F$ 上的一个线性空间, 并称 $V$ 中的元素为向量.

定义 $F$ 上全体 $m\times n$ 矩阵的集合 $F^{m\times n}$ 对矩阵的加法及数乘组成矩阵空间.

定义 $F$ 上使得 $AX=0$ 的全部 $X$ 形成 $AX=0$ 的解空间, 也称矩阵 $A$ 的零空间, 记为 $N(A)$.

定义 $F$ 中的数为系数的全体 1 元多项式的集合 $F[x]$ 对多项式的加法及数乘, 构成 $F$ 上的线性空间 由 $F[x]$ 中次数小于 $n$ 的全体多项式, 再添加零多项式构成的集合 $F[x{]}_n$ 对多项式的加法和数乘构成多项式空间.

定义 若 $W\in V$ 也在 $F$ 上构成线性空间, 则称 $W$ 是 $V$ 的线性子空间.

定理 3.5.1 若 $W\in V$ 满足 $\forall \alpha ,\beta \in W$, 都有 $\alpha +\beta \in W$; $\forall \alpha ,\beta \in W$, 都有 $\alpha \beta \in W$, 则 $W$ 是 $V$ 的子空间.

定义 $V$ 和 $\{\theta \}$ 都是 $V$ 的子空间, 称它们为平凡子空间, 若还有, 则均称为非平凡子空间.

定义 设 $V$ 是 $F$ 上的线性空间, ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 是其中的 $m$ 个向量, 则 $V$ 的子集合构成由向量组生成的子空间, 记为 $L({\alpha }_1\dots {\alpha }_n)$.

$R^n$ 及其子空间均称为实向量空间.

基

定义 若 ${\alpha }_1\dots {\alpha }_n$ 线性无关, $V$ 中任意向量均可由 ${\alpha }_1\dots {\alpha }_n$ 线性表出, 即存在 m 个数 ${\alpha }_1\dots {\alpha }_n\in F$ 使得 $\alpha =a_1{\alpha }_1\dots a_m{\alpha }_m$, 则称 ${\alpha }_1\dots {\alpha }_n$ 为 $V$ 的一组基, $m$ 为 $V$ 的维数.

在向量空间 $F^n$ 中考虑 n 元基本向量组 ${\epsilon }_1=(1,0,\dots ,0)\dots {\epsilon }_n=(0,0,\dots 1)$, 由于 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 线性无关, 称 ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ 为 $F^n$ 的自然基.

结论 $维[N(A)]=n-r$

有限维线性空间 无限维线性空间