1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换

秩

定理 1.3.1 矩阵用初等行变换化为的阶梯形矩阵中, 主元的个数唯一.

定义 矩阵 $A$ 用初等行变换化为的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵 $A$ 的秩, 记为 $r(A)$ 或 $\text{秩}(A)$

• $r(A)=0$, 当且仅当 $A=0$
• $r(A_{m\times n})\le min\{m,n\}$
• 初等行变换不改变矩阵的秩

定义 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 若 $r(A)=n$, 则称 $A$ 是满秩方阵, 若 $r(A)<n$, 则称 $A$ 是降秩方阵.

定理 1.3.2 满秩方阵只用 矩阵的初等行变换 即可化为单位矩阵

矩阵的初等变换

矩阵的初等行变换的推广

矩阵的初等列变换

• 互换两列的位置
• 一列的倍数加到另一列上
• 用一个非零数乘某一列的全部元素 记为 $C$ #定义 A, B 是两个相同类型矩阵, A 可以通过初等变化转换为 B, 称为 A 相抵于 B, $A\cong B$ A 是 $m\times n$ 矩阵, $r(A)=r(B)$, 则 A 相抵于 $K_{m\times n}(r)=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& ...& 0& ...& 0\\ 0& 1& ...& 0& ...& 0\\ ...& & & & & \\ 0& 0& ...& 1& ...& 0\\ 0& 0& ...& 0& ...& 0\end{array}\right]$ 将此称为 A 的相抵标准形.

初等矩阵

定义 1.3.4 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 #定理 1.3.4 对 $m\times n$ 矩阵 $A$ 作一次初等行变换, 等同于在 $A$ 的左边乘上一个对应的 $m$ 阶初等矩阵; 对 $A$ 作一次初等列变换, 等同于在 $A$ 的右边乘上一个对应的 $n$ 阶初等矩阵.

$ex$ $A\stackrel{3C_3}{\to }B$ 与之对应, $I_3\stackrel{3C_3}{\to }=E_3(3)$ $A{E}_3(3)=B$

• 倍乘初等矩阵 $E_i(k)$
• 倍加初等矩阵 $E_{ij}(k)$
• 交换初等矩阵 $E_{ij}$

性质 1.3.2

• 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
• 初等矩阵是满秩方阵且初等矩阵的乘积也是满秩方阵
• 对于任一初等矩阵 $P$, 均存在初等矩阵 $Q$, 使得 $PQ=QP=I$

定理 1.3.5

满秩方阵可以表示为若干矩阵的乘积 #推论 满秩方阵的乘积也是满秩方阵

定理 1.3.6

设 $A$ 与 $B$ 是两个 $m\times n$ 矩阵, 则 $A$ 相抵于 $B$ 的充要条件是: 存在 $m$ 阶满秩矩阵 $P$ 与 $n$ 阶满秩矩阵 $Q$, 使得 $PAQ=B$

$A$ 经过若干次初等行变换与初等列变换后得到 $B$

定理 1.3.7

同型矩阵 $A$ 与 $B$ 相抵的充要条件是 $r(A)=r(B)$. #推论 矩阵的初等列变换也不改变矩阵的秩

定理 1.3.8

1. $r(A)=r(A^T)$
2. 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵, $P$ 是 $m$ 阶满秩方阵, $Q$ 是 $n$ 阶满秩方阵, 则 $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$.