2.1 导数

导数

点导数是因变量在 $x_0$ 处的变化率 #定义 如果 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 存在, 则称 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 可导. $y^{\prime }{|}_{x=x_0}=\lim \Delta x\to 0\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$f(x)$ 在开区间 $I$ 内每一点都可导, 就称 $f(x)$ 在开区间 $I$ 内可导. $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x){|}_{x=x_0}$ $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上可导, 且 $f_{+}^{\prime }(a),f_{-}^{\prime }(b)$ 都存在, 则在 $[a,b]$ 上可导.

${\arcsin }^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ${\arccos }^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $arcta{n}^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}$

由定义求导

• 求 $\Delta y$
• 求 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
• 求 $y^{\prime }={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

左右导数

左极限存在, 左侧可导, 左导数存在, $f_{-}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0^{-})=A$.

可导 连续

定理 可导一定连续. 左可导, 左连续; 右可导, 右连续.

连续不一定可导.

四则运算求导法则

定理 $u(x),v(x)$ 在 $x$ 处可导, 则它们的和差积商 (分母不为 0) 在 $x$ 处也可导

反函数的求导法则

定理 若函数 $x=\phi (y)$ 在某区间内严格单调, 可导且 ${\phi }^{\prime }(y)\ne 0$, 那反函数 $y=f(x)$ 在对应区间内可导, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\phi }^{\prime }(y)}$

隐函数 参数方程求导

隐函数的显化

将 $F(x,y)=0$ 化为 $f(x)$ 进行求导

无法显化

直接对隐函数方程两边求导

$f(x)=u(x{)}^{v(x)}$ $f^{\prime }(x)=u(x{)}^{v(x)}lnu(x)\cdot v^{\prime }(x)+v(x)u(x{)}^{v(x)-1}{u}^{\prime }(x)$ 先按指数函数求导, 再按幂函数求导

参数方程

将参数方程看为由 $t$ 为中间变量的复合函数 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$