t 分布

设 $X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$, $X,Y$ 相互独立, 称 $t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布.

概率密度函数为 $f(x)=\frac{\Gamma [(n+1)/2]}{\Gamma (n/2)\sqrt{n\pi }}(1+\frac{x^2}{n}{)}^{\frac{n+1}{2}},-\infty <x<\infty$.

• $t$ 分布的密度函数关于 $y$ 轴对称, 且 ${\lim }_{|x|\to \infty }f(x)=0$.
• $t$ 分布密度函数于标准正态分布的概率密度函数图像类似.
• 当 $n$ 足够大时, $T$ 近似服从标准正态分布 $N(0,1)$.

柯西分布

当 $n=1$ 时, 其密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)},-\infty <x<\infty$, 此时 $t$ 分布就是柯西分布, 其数学期望不存在.

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