IEEE 754 浮点数标准

IEEE 754 是现代计算机中最广泛使用的浮点数运算标准。

核心结构

一个 IEEE 754 浮点数由三部分组成：

1. 符号位 (S): 0 表示正，1 表示负。
2. 阶码 (E): 使用 移码 表示，偏置值 (Bias) 为 $2^{k-1}-1$。
3. 尾数 (F): 使用原码表示，且采用隐藏位技术。 重点

常见格式

格式	总位数	阶码位数 (偏置值)	尾数位数
单精度 (Single)	32	8 (127)	23
双精度 (Double)	64	11 (1023)	52

隐藏位技术 (Hidden Bit)

在规格化表示中，尾数的第一位总是 1（即 $1.F$），因此该 1 不在内存中存储，从而多出一位精度。 重点

计算公式

$V=(-1{)}^S\times (1.F)\times 2^{E-Bias}$

特殊值 重点

• 指数全 0，尾数全 0: 表示 $\pm 0$。 重点
• 指数全 1，尾数全 0: 表示 $\pm \infty$。 重点
• 指数全 1，尾数非 0: 表示 NaN (Not a Number)。 重点

范围与精度计算 重点

期末考试常要求计算给定位数下的浮点数最大/最小正数、负数范围。

1. 最大正数：阶码取最大值（全 1 前一个），尾数取全 1。
2. 最小正数（规格化）：阶码取最小值（全 0 后一个），尾数取全 0。
3. 精度：由尾数位数决定。