补码原理与同余概念

补码是计算机中处理有符号数的核心机制，其引入的主要目的是简化运算器设计。

核心目的

• 使符号位参与运算。
• 将减法运算转换为加法运算，从而简化硬件电路。 重点

理论基础

1. 模 (Modulo):
   • 指有限存储空间所能表示的数值总量。
   • 原理: 计算机存储空间（寄存器）是有限的，当运算结果超出模时，高位会自然溢出并丢失。
   • 例如：8 位寄存器的模为 $2^8=256$。
2. 同余 (Congruence):
   • 类比：圆盘时针: 重点
     • 设时钟的模为 12。
     • 若要将时针从 10 点拨到 8 点，有两种方法：
       1. 减法: 逆时针拨 2 小时 ($10-2=8$)。
       2. 加法: 顺时针拨 10 小时 ($(10+10)\mathrm{mod}12=8$)。
     • 在模 12 的空间下，$-2$ 和 $+10$ 是同余的。
   • 补码应用: 在特定的模空间下，为一个负数找到一个等价的正数。通过这种变换，将减法运算转换为加法运算。 重点

补码的计算规则

• 正数: $[X{]}_{原}=[X{]}_{补}=[X{]}_{反}$。
• 负数:
  • 符号位保持不变。
  • 数值位“按位取反，末位加 1”。 重点

补码的优势

• 统一加减法: 符号位参与运算。计算机硬件中只需要设计加法器，减法、乘法、除法最终都转化为加法实现。 重点
• 零的表示唯一: $[+0{]}_{补}=[-0{]}_{补}=\mathrm{000...0}$。
• 表示范围更广:
  • 补码利用原码中“-0”的编码位置多表示了一个负数。
  • 定点整数: 对于 $n+1$ 位补码，可表示 $-2^n$（如 8 位可表示 $-128$）。
  • 定点小数: 对于 $n+1$ 位补码，可表示 $-1$。 重点
  • 最小值: 补码定点小数的最小值为 $-1$，且该值与字长（位数）无关。 重点

进阶：进制转化与通用 R 进制

1. 基本进制: 计算机常用二进制 (B)、八进制 (Q/O)、十六进制 (X/H)。
2. 通用 R 进制原理:
   • 基数: 包含 $0\sim R-1$ 个符号。
   • 规则: “逢 $R$ 进一，借一当 $R$”。
   • 多项式表示: 任何 $R$ 进制数都可以展开为以 $R$ 为底的多项式，从而转化为十进制。 重点

32 位系统与 4GB 寻址空间

• 理论上 $2^{32}=4GB$。
• 在 32 位操作系统（如 Win7）下，由于系统预留和硬件映射，实际可用空间通常仅为 3.1GB~3.2GB 左右。若要充分利用 4GB 以上内存，必须安装 64 位操作系统。 重点