定点数除法运算

定点数除法采用“加减交替法” (Non-Restoring Division) 实现，避免了恢复余数法中繁琐的恢复步骤。

规范与警告 重点

• 严禁手工计算: 必须严格按照加减交替法的步骤（商、移位、加/减除数）进行。严禁直接列式除法，即使答案正确也记为 0分。
• 位数保留: 商和余数的位数必须与操作数一致。即使末尾是 0 也必须写出（如 0.11000 不能写成 0.11），否则视为不规范扣分。
• 算法差异: 原码加减交替法与补码加减交替法计算出的商和余数结果通常不同（通常是商的最后一位有差异，余数差异较大）。这是算法特性，并非计算错误。 重点
• 移位细节: 除法运算中，部分新余数是向左移（相当于不断放大余数与除数比较）。

硬件资源

• 寄存器 A：存放被除数/余数 (初始为被除数)。
• 寄存器 B：存放除数。
• 寄存器 C：存放商 (初始为 0)。

原码加减交替法

• 原理：绝对值运算，符号位单独处理 ($S_Q=S_X\oplus S_Y$)。
• 运算规则：
  1. 第一步：$R_0=X-Y$ (即 $+[-Y{]}_{补}$)。
  2. 循环判断：根据余数 $R_i$ 的符号决定商和下一步操作。
     • 若 $R_i>0$ (正)：商 $Q_i=1$，余数左移，减除数 ($-|Y|$ 或 $+[-|Y|{]}_{补}$)。
     • 若 $R_i<0$ (负)：商 $Q_i=0$，余数左移，加除数 ($+|Y|$)。
  3. 循环次数：通常进行 $N+1$ 或 $N+2$ 次操作。
  4. 修正：若最终余数为负，需 $+|Y|$ 恢复为正余数。
• 特点：余数不恢复，直接根据符号决定加/减。

补码加减交替法

• 原理：符号位参与运算，操作数以补码表示。
• 运算规则：
  1. 第一步判定：
     • 若被除数与除数 同号：做 减法 ($X-Y$)。
     • 若被除数与除数 异号：做 加法 ($X+Y$)。
  2. 循环判断 (根据余数与除数的符号关系)：
     • 同号：商 $1$，余数左移，做 减法。
     • 异号：商 $0$，余数左移，做 加法。
  3. 末位恒置 1：为了简化逻辑，补码除法的商末位通常强制置 1 (误差在允许范围内)。 重点
  4. 循环次数：$N$ 次移位，$N+1$ 次加法。

计算示例 (补码加减交替)

题目：$X=0.10000,Y=-0.1010$，求 $X÷Y$。 解：

1. 预处理：
   • $[X{]}_{补}=0.10000$ (被除数/初始余数 R)
   • $[Y{]}_{补}=1.0110$ (除数)
   • $[-Y{]}_{补}=0.1010$

步骤	操作说明	余数 (R)	商 (Q)	说明
1 (初)	X, Y 异号 $\to +Y$	0.10000
	+ [Y]补	1.0110
	= 新余数 R0	1.1110		R0 与 Y 同号 (均为负)
2	$\because$ 同号 $\to Q_0=1$		0.0001	上商 1
	R0 左移	1.1100
	- Y (+[-Y]补)	0.1010		做减法
	= 新余数 R1	0.0110		R1(正) 与 Y(负) 异号
3	$\because$ 异号 $\to Q_1=0$		0.0010	上商 0
	R1 左移	0.1100
	+ [Y]补	1.0110		做加法
	= 新余数 R2	0.0010		R2(正) 与 Y(负) 异号
4	$\because$ 异号 $\to Q_2=0$		0.0100	上商 0
	R2 左移	0.1000
	+ [Y]补	1.0110		做加法
	= 新余数 R3	1.1110		R3(负) 与 Y(负) 同号
5	$\because$ 同号 $\to Q_3=1$		0.1001	上商 1
	R3 左移	1.1100
	- Y (+[-Y]补)	0.1010		做减法
	= 新余数 R4	0.0110
结	末位恒置 1		0.10011	$Q_4$ 不再计算，直接置 1

结果：商 $[Q{]}_{补}=1.0111$ (注意这里通常符号位单独处理或包含在商中，补码除法商的符号通常也是自动形成的，但末位恒置1可能引入误差)。 注：本例根据课堂口述记录，重点在于“同号减上商1，异号加上商0”的规则演练。

对比总结

• 符号处理：

  • 原码加减交替法：符号单独处理（按绝对值运算，结果符号由 $S_X\oplus S_Y$ 决定）。
  • 补码加减交替法：符号参与运算，操作数与结果均以补码表示。

• 第一步：

  • 原码：第一步通常做减法 $R_0=X-Y$（即 $+[-Y{]}_{补}$）。
  • 补码：若被除数与除数同号则做减法，否则做加法（同号减，异号加）。

• 判定依据：

  • 原码：根据余数符号决定商位与下一步操作（余数符号为正或负）。
  • 补码：根据余数与除数是否同号决定商位与下一步操作。 重点

• 商的确定：

  • 原码：正余数对应商位 1，负余数对应商位 0。
  • 补码：余数与除数同号则商位 1，异号则商位 0。

• 末位处理：

  • 原码：按常规计算末位。
  • 补码：商的末位通常强制恒置为 1（以简化逻辑，误差在允许范围内）。 重点

• 余数恢复：

  • 原码：若最终余数为负，需加上除数绝对值恢复为正余数。
  • 补码：通常无需恢复（直接以补码形式结束）。

• 循环次数与其他：

  • 原码：通常进行 $N+1$ 或 $N+2$ 次操作（视具体实现而定）。
  • 补码：通常为 $N$ 次移位，$N+1$ 次加法。

• 适用场景 / 优缺点：

  • 原码：实现直观、易理解，适用于以绝对值分开处理符号的场合。
  • 补码：适合硬件直接实现有符号除法，可减少恢复等额外步骤，便于流水线和统一算术单元使用。