定点数乘法运算

定点数乘法通常通过“累加 + 移位”的方式实现，将乘法转化为加法。

规范与警告 重点

• 严禁手工计算: 考试中必须严格按照机器运算规则（如原码/补码一位乘法规则）进行移位加法计算。严禁使用手工长乘法列式计算，即使答案正确也记为 0 分。
• 位数保留:
  • 结果的数值位数必须完整。若乘数与被乘数均为 $n$ 位数值，则乘积应为 $2n$ 位（原码一位乘）或 $2n+1$ 位。
  • 即使末尾是 0 也必须写出，不能随意截断或省略。
• 过程完整性: 必须清晰列出初始设定（被乘数、乘数绝对值或补码）、寄存器状态变化过程。

原码一位乘法

• 原理：绝对值相乘，符号位单独处理。
  • 积的符号：$S_p=S_x\oplus S_y$
  • 数值部分：$|X|\times |Y|$
• 硬件资源：
  • 寄存器 A (部分积，初值 0)。
  • 寄存器 B (被乘数 $|X|$)。
  • 寄存器 C (乘数 $|Y|$，与 A 级联移位)。
• 规则：
  • 检查乘数最低位 $Y_n$。
  • 若 $Y_n=1$，部分积 $A\leftarrow A+|X|$
  • 若 $Y_n=0$，部分积 $A\leftarrow A+0$
  • 右移：A and C 级联右移一位 (逻辑右移，高位补 0)。
  • 重复 $N$ 次（$N$ 为数值位数）。
• 特点：需做 $N$ 次加法 and $N$ 次移位。

补码一位乘法 (Booth 算法)

• 原理：符号位参与运算，将被乘数与乘数均以补码表示直接计算。
• 规则 (Booth Rule)：
  1. 在乘数 $Y$ 最低位后增加一位附加位 $Y_{n+1}$，初值为 0。
  2. 每次根据 $(Y_n,Y_{n+1})$ 的取值决定操作：
     • 00 或 11：部分积 $+0$，右移。
     • 01：部分积 $+[X{]}_{补}$，右移。
     • 10：部分积 $+[-X{]}_{补}$，右移。
  3. 移位：按补码右移规则进行（正数补 0，负数补 1）。
  4. 次数：进行 $N$ 次移位，$N+1$ 次加法。
     • 最后一步 (第 $N+1$ 次循环)：仅做加法操作，不移位。 重点
• 硬件资源：需 A, B, C 三个寄存器及一位附加位。B 存 $[X{]}_{补}$，C 存 $[Y{]}_{补}$。

关键点总结

• 运算对象：

  • 原码一位乘法：使用绝对值（符号位单独处理）。
  • 补码（Booth）：使用补码表示，符号位参与计算，直接处理有符号数。

• 判定位：

  • 原码：仅检查乘数最低位 $Y_n$（1 位）。
  • Booth：检查 $(Y_n,Y_{n+1})$（2 位），根据两位组合决定执行 $+[X{]}_{补}$、$+[-X{]}_{补}$ 或 $+0$。 重点

• 加法操作：

  • 原码：若 $Y_n=1$ 则部分积 $A\leftarrow A+|X|$，否则 $+0$。
  • Booth：按判定位执行 $+[X{]}_{补}$、$+[-X{]}_{补}$ 或 $+0$。

• 移位方式：

  • 原码：逻辑右移（高位补 0）。
  • Booth：补码右移（算术右移，符号位扩展）。

• 循环次数与最后一步：

  • 原码：进行 $N$ 次加法并 $N$ 次移位（结束时仍需移位）。
  • Booth：进行 $N+1$ 次加法和 $N$ 次移位，其中第 $N+1$ 次仅做加法，不移位。 重点

• 优缺点 / 适用场景：

  • 原码：实现简单，适合无符号或分开处理符号的场合。
  • Booth：能直接处理有符号乘法，通常在硬件实现中用于减少不必要的加法与移位操作。