4.5 行列式的应用

求解方程组

伴随矩阵

$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \dots & A_{n1}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \dots & A_{nn}\end{array}\right]$, 其中 $A_{ij}$ 为 A 的代数余子式.

矩阵可逆

$矩阵可逆\iff |A|\ne 0,矩阵满秩$

矩阵的秩

定义 取矩阵的 $k$ 个行 $k$ 个列交叉处上的 $k^2$ 个元素, 称为 $A$ 的一个 $k$ 阶子式, 当 $i_1=j_1,\dots ,i_k=j_k$ 时, 称 $M$ 为 $A$ 的一个 $k$ 阶主子式.

定理 $A$ 有一个 $r$ 阶子式不为零, 且所有 $r+1$ 阶子式全为零, 则 $\text{秩}(A)=r$.