2.4 非齐次线性方程组解的结构

定理 非齐次线性方程组 $AX=b$ 有解的充要条件是 $r(A)=r(\stackrel{\sim }{A})$

推论 非齐次线性方程组 $AX=b$ 有唯一解的充要条件是 $r(A)=A\text{的列数}$; 非齐次线性方程组 $AX=b$ 有无穷解的充要条件是 $r(A)<A\text{的列数}$.

$AX=0$ 是 $AX=b$ 的导出方程组.

性质

1. $X_1,X_2$ 是非齐次方程组 $AX=b$ 的任意解向量, 则 $X_1-X_2$ 是导出方程组 $AX=0$ 的解向量.
2. $X_0$ 是非齐次非线性方程组 $AX=b$ 的任意解向量, $\overline{X}$ 是导出方程组的任意解向量, 则 $X_0+\overline{X}$ 是 $AX=b$ 的解向量

定理 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解, 其一般解为 $X_0+k_1{X}_1+\cdots +k_t{X}_t$ 其中 $X_0$ 是 $AX=b$ 的一个特解, $X_1,X_2,\dots ,X_t$ 是==导出方程组==$AX=0$ 的一个基础解系, $k_1,k_2,\dots ,k_t$ 是 $t$ 个任意常数.