线性运算

加法

$A = [a_{ij}]_{m \times n}$ , $B = [b_{ij}]_{m \times n}$ , $C = A + B = [a_{ij} + b ij]_{m} \times n$

$A = [a_{ij}]_{m \times n} \in F, k \in F, B = k A = [k a_{ij}]_{m \times n}$

$A = [a_{ij}]_{m \times p}, B = [b_{ij}]_{p \times n} \in F$ , 令 $c_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + ... + a_{i p} b_{p j}$

不具有交换律 $A B \neq = B A$
- $A B$ 有意义， $B A$ 不一定有意义
- $A B$ 和 $B A$ 都有意义, 也不一定同型
- $A B$ 和 $B A$ 同型, 也不一定相等
$A \neq = 0, B \neq = 0$ 不能导出 $A B \neq = 0$
$A B = A C, A \neq = 0$ 不能导出 $B = C$
乘入方式一致

斜对角都为 1 的 $n \times n$ 矩阵 $I_{n}$ (或 $I; E_{n} 或 E$ )

$A^{0} = I, A^{1} = A$ 设 $A$ 为方阵, $k, l$ 为非负整数, $f (x)$ 是 $x$ 的一元多项式

$A^{k} A^{1} = A k + 1$
$f (x) = g (x) h (x), f (A) = g (A) h (A)$ 若 $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x + a_{0}$ 则 $f (A) = a_{n} A^{n} + a_{n - 1} A^{n - 1} + ... + a_{1} A + a_{0} I$
- 由于 $f (x)$ 末项为 $x^{0}$ , $f (A)$ 末项为 $I$ $A^{n} - I = (A - I) (A^{n - 1} + A^{n - 2} + ... + A + I)$ 一般地,
$(A B)^{k} \neq = A^{k} B^{k}$
$(A + B)^{2} \neq = A^{2} + 2 A B + B^{2}$
$A^{2} - B^{2} \neq = (A - B) (A + B)$ 当且仅当 $A B \neq = B A$ 时上述式可取等

设 $A$ 与 $B$ 为同阶矩阵, 若 $A B = B A$ , $(A + B)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} A^{i} B^{n - k}$

$A_{m \times n}$ 的转置矩阵为 $n \times m$ 矩阵, 记为 $A^{T}$

$A A^{T} = A$
$(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
$(k A)^{T} = k A^{T}$
$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$
$(A BC)^{T} = C^{T} B^{T} A^{T}$ 设 A 与 B 是同阶方阵, 则 $A B^{T} + B A^{T} = A B^{T} + B A^{T}$
对称矩阵: $A^{T} = A$
反称矩阵: $A^{T} = - A$