3.3 泰勒公式

直接展开

$e$ 的 $n$ 阶麦克劳林公式: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(e^x)$ $n$ 越大, 误差越小, 精度更高 $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ $(1+x{)}^a$ 的麦克劳林公式: $(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}+\cdots +\frac{a(a-1)\dots (a-n+1)}{n!}+R_n(x)$ $a=-1$ 时特例 $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3\cdots +(-1{)}^n{x}^n$ $a=\frac{1}{2}$ 时特例 $\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x+{\sum }_{k=2}^n(-1{)}^{k-1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}{x}^k+o(x^n)$

常用函数的麦克劳林公式

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}\cdots +\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}+0(x^{n+1})$ $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$

间接展开法

变量代换

• 不能估计误差
• 不能计算拉格朗日余项