n 元置换
, 上的任何双射函数 称为 上的 元置换.
元置换一共有 个.
设 是 元置换, 也是 元置换, 记作 .
指向原始笔记的链接恒等置换
上的恒等函数.
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群 的运算表中的每一行或每一列都是 的元素的一个置换.
轮换与对换
设 是 上的 元置换, 若 , 且保持 中其他元素不变, 则称 是 上的 阶轮换, 记作 .
若 , 则称 是 上的对换.
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置换的轮换表示
对于任何 上的 元置换 , 存在着一个有限序列 , (可以取 ) 使得 .
令 是第一个轮换, , 继续分解, 经过有限步可得 .
定理 任意置换可以唯一表示成不相交的轮换乘积.
- 轮换的不交性
- 分解的唯一性
通常省略轮换分解式中的 阶轮换.
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置换的对换分解
是 上的 阶 轮换, 可进一步表示为对换的积,
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- 对换之间可以有交, 分解式不唯一.
- 若 可以表示为奇数个对积之和, 则称为奇置换; 否则为偶置换.
- 奇偶性是不变的.
- 元置换中奇置换和偶置换各有 个.