n 元置换

, 上的任何双射函数 称为 上的 元置换.

元置换一共有 个.

元置换, 也是 元置换, 记作 .

恒等置换

上的恒等函数.

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的运算表中的每一行或每一列都是 的元素的一个置换.

轮换与对换

上的 元置换, 若 , 且保持 中其他元素不变, 则称 上的 阶轮换, 记作 .

, 则称 上的对换.

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置换的轮换表示

对于任何 上的 元置换 , 存在着一个有限序列 , (可以取 ) 使得 .

是第一个轮换, , 继续分解, 经过有限步可得 .

定理 任意置换可以唯一表示成不相交的轮换乘积.

  • 轮换的不交性
  • 分解的唯一性

通常省略轮换分解式中的 阶轮换.

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置换的对换分解

上的 轮换, 可进一步表示为对换的积,

  • 对换之间可以有交, 分解式不唯一.
  • 可以表示为奇数个对积之和, 则称为奇置换; 否则为偶置换.
  • 奇偶性是不变的.
  • 元置换中奇置换和偶置换各有 个.
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