环

代数系统 $<R,+,\bullet >$ 是一个环, 当且仅当

• $<R,+>$ 构成 阿贝尔群

• $<R,\bullet >$ 构成 半群

• $\bullet$ 关于 $+$ 适合分配律

• $+$ 为环中的加法, $\bullet$ 为环中的乘法, 通常可以忽略.

• 加法单位元为 0, 乘法单位元 (若存在) 为 1.

• 对元素 $x$, 加法逆元称为 负元, 记作 $-x$, 若存在乘法逆元, 称为 逆元, 记作 $x^{-1}$.

• 交换环: 环中乘法 $\bullet$ 适用交换律

• 含幺环: 环中乘法 $\bullet$ 存在单位元

• 无零因子环: $\forall a,b\in R,ab=0\Rightarrow a=0\vee b=0$

• 整环: 既是交换环, 含幺环,也是无零因子环

定理 环 $<A,+,\bullet >$ 中无零因子, 当且仅当乘法满足消去律.