二元关系, 若 都存在唯一的 使得 成立, 则称 为函数.

对于函数 , 如果有 则记为 , 称为 的值.

如果 为函数, , 则称 为从 的函数, 记作 .

所有从 的函数的集合记作 , 表示为 .

函数的性质

,

  • , 则称 是漫射的.
  • 都存在唯一的 使得 , 则称 是单射的.
  • 既是满射又是单射的, 则称 是双射的.
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自然映射

上的等价关系, 令 , , 称 是从 到商集 的自然映射.

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复合函数基本定理

是函数, 则 也是函数, 且

  • ;
  • .

为函数, 则

, 则 , 且对 .

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反函数

是双射的, 则 也是双射的.

  • 是双射的, 则 .
  • 对于双射函数 , 有 .
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集合的等势

定义 是集合, 如果存在从 的双射函数, 就称 是等势的, 记作 .

定理 是任意集合,

  • ,

  • , 则 ,

  • , 则 .

  • 任何实数区间都与实数集合 等势.

  • 不等势.

  • 对任意集合 , 不等势.

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集合的优势

是集合, 如果存在从 的单射函数, 就称 优势于 , 记作 . 如果 不是又是于 , 记作 .

为集合, 若 不等势, 则称 真优势于 , 记作 .

定理 是任意的集合, 则

  • .
  • , 则 .
  • , 则 .
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自然数的集合定义

为集合, 的后继, 记为 , 即 .

定义自然数为 .

有穷集

一个集合是有穷的当且仅当和某个自然数等势.

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无穷集

如果一个集合不是有穷的, 就称为无穷集.

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定理 任何有穷集只和唯一的自然数等势.

集合基数

对于 有穷集 , 称与 等势的唯一一个自然数为 的基数, 记为 .

自然数集合 的基数记为 , 实数集 的基数记为 .

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可数集

定义 为集合, 若 , 则称 为可数集或可列集.

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