设 为 二元关系, 若 都存在唯一的 使得 成立, 则称 为函数.
对于函数 , 如果有 则记为 , 称为 为 在 的值.
如果 为函数, , 则称 为从 到 的函数, 记作 .
所有从 到 的函数的集合记作 , 表示为 .
函数的性质
设 ,
指向原始笔记的链接
- 若 , 则称 是漫射的.
- 若 都存在唯一的 使得 , 则称 是单射的.
- 若 既是满射又是单射的, 则称 是双射的.
自然映射
设 是 上的等价关系, 令 , , 称 是从 到商集 的自然映射.
指向原始笔记的链接
复合函数基本定理
设 是函数, 则 也是函数, 且
- ;
- .
设 为函数, 则
设 , 则 , 且对 .
指向原始笔记的链接
反函数
设 是双射的, 则 也是双射的.
指向原始笔记的链接
- 设 是双射的, 则 .
- 对于双射函数 , 有 .
集合的等势
定义 设 是集合, 如果存在从 到 的双射函数, 就称 和 是等势的, 记作 .
定理 设 是任意集合,
指向原始笔记的链接
,
若 , 则 ,
若 , 则 .
任何实数区间都与实数集合 等势.
不等势.
对任意集合 , 不等势.
集合的优势
设 是集合, 如果存在从 到 的单射函数, 就称 优势于 , 记作 . 如果 不是又是于 , 记作 .
设 为集合, 若 且 不等势, 则称 真优势于 , 记作 .
定理 是任意的集合, 则
指向原始笔记的链接
- .
- 若 且 , 则 .
- 若 且 , 则 .
自然数的集合定义
设 为集合, 为 的后继, 记为 , 即 .
定义自然数为 .
有穷集
一个集合是有穷的当且仅当和某个自然数等势.
指向原始笔记的链接无穷集
如果一个集合不是有穷的, 就称为无穷集.
指向原始笔记的链接定理 任何有穷集只和唯一的自然数等势.
指向原始笔记的链接集合基数
对于 有穷集 , 称与 等势的唯一一个自然数为 的基数, 记为 或 .
自然数集合 的基数记为 , 实数集 的基数记为 .
指向原始笔记的链接
可数集
定义 设 为集合, 若 , 则称 为可数集或可列集.
指向原始笔记的链接