一阶逻辑等值式

定义设 $A, B$ 是两个谓词公式, 如果 $A \leftrightarrow B$ 是永真式, 则称 $A, B$ 等值, 记作 $A \Leftrightarrow B$ .

若 $A (x)$ 是含 $x$ 自由出现的公式, $B$ 中不含 $x$ 的自由出现,

$\forall x (A (x) \lor B) \Leftrightarrow \forall x A (x) \lor B$
$\forall x (A (x) \land B) \Leftrightarrow \forall x A (x) \land B$
$\forall x (A (x) \to B) \Leftrightarrow \exists x A (x) \to B$
$\forall x (B \to A (x)) \Leftrightarrow B \to \forall x A (x)$
$\exists x (A (x) \lor B) \Leftrightarrow \exists x A (x) \lor B$
$\exists x (A (x) \land B) \Leftrightarrow \exists x A (x) \land B$
$\exists x (A (x) \to B) \Leftrightarrow \forall x A (x) \to B$
$\forall x (B \to A (x)) \Leftrightarrow B \to \exists x A (x)$
$\forall x (A (x) \land B (x)) \Leftrightarrow \forall x A (x) \land \forall x B (x)$
$\exists x (A (x) \lor B (x)) \Leftrightarrow \exists x A (x) \lor \exists x B (x)$
$\exists x (A (x) \to B (x)) \Leftrightarrow \forall x A (x) \to \exists x B (x)$

$\forall$ 对 $\lor$ , $\exists$ 对 $\land$ 无分配律.

Notes@Tsukino