矩估计

设 $X_1,X_2,..,X_n$ 为来自总体 $X$ 中抽出的一个样本, 测总体 $k$ 阶原点 矩 为 ${\mu }_k=E(X^k)$, 样本 $k$ 阶原点矩为 $A_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^k$m, 由 大数定律 $A_k=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^k\stackrel{p}{\to }{\mu }_k$, 若 $g$ 为连续函数, 则 $g(A_k)\stackrel{P}{\to }g({\mu }_k)$, 因此可用 $A_k$ 估计 ${\mu }_k$, 用 $g(A_k)$ 估计 $g({\mu }_k)$.

用样本矩作为相应总体矩的估计量, 样本矩的连续函数作为相应总体矩的连续函数的估计量, 这种估计方法称为矩估计法.

1. 根据未知参数的个数, 求出总体的各阶矩 ${\mu }_1,...{\mu }_k$.
2. 用 ${\mu }_i$ 表示 ${\theta }_l={\theta }_l({\mu }_1,...,{\mu }_k)$.
3. 用样本矩估计相应的总体矩, 用 $A_l$ 替代相应的 ${\mu }_l$ 得到 ${\theta }_l$ 的矩估计 ${\hat{\theta }}_l={\theta }_l(A_1,...,A_k),l=1,2,...,k$.

• 直观简单, 不唯一.
• 用尽量低阶的矩求相应的参数估计.
• 损失信息, 有不适用的情况存在.