切比雪夫不等式
的数学期望和方差都存在, 对任意 , 均有 .
不管随机变量的分布类型是什么, 不管其分布是否一致, 只要知道数学期望和方差, 就可以对随机变量落入数学期望附近的区域 或 的概率给出一个下界或上界.
对同一个 , 方差 越小, 则事件 的概率越大, 即 落入区间 的概率越大.
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定义 设 是随机变量序列, 是一个常数, 若对任意 , 有 , 则称序列依概率收敛于常数 , 记为 .
当 很大时, 绝对偏差不小于任意给定量的概率随着 增大越来越接近 , 为大概率事件.
定理 如果 , 且 在 点连续, 在 连续, 则 .
如果 ., 则
- .
- .
- .
定理 设随机变量序列 相互独立, 数学期望和方差都存在, 且方差有共同的上界, 即存在常数 , 使得 , 则对任意给定的常数 , 有 .
设 是相互独立的随机变量序列, 具有相同的数学期望和方差, 即 , 则对任意的 , 有 , 即 .
伯努利大数定理
定理 设 是 重伯努利实验中事件 发生的次数, 是一次试验中事件 发生的概率 , 则对任意给定常数 , 有 , 即 .
在独立重复实验中, 事件 发生的频率 , 当 时收敛于事件 在一次试验中发生的概率.
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辛钦大数定理
定理 设随机变量序列 独立同分布, 且 , 则对任意给定常数 , 有 , 即 .
表明 充分大时, 个独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于共同的数学期望 .
指向原始笔记的链接可以用多次观测的算术平均值近似期望值.