1.7 无穷小的比较

无穷小的阶及其比较

定义 设 $\alpha ,\beta$ 是同一过程中的两个无穷小,

1. 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$, 就说 $\beta$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小, 记为 $\beta =o(\alpha )$.
2. 如果 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=0$, 就说 $\beta$ 是 $\alpha$ 的低阶无穷小.
3. 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=C\ne 0$, 就说 $\beta$ 是 $\alpha$ 的同阶无穷小. 如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$, 就说 $\beta$ 是 $\alpha$ 的等价无穷小, 记为 $\beta \sim \alpha$.
4. 如果 $\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=C\ne 0,k>0$, 就说 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小.

标准无穷小

$x\to 0,\alpha =x;$ $x\to a,\alpha =x-a;$ $x\to \infty ,\alpha =\frac{1}{x};$ 若 $\beta$ 是标准无穷小 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小, 则称在自变量的这种变化趋势下, $\beta$ 是 $k$ 阶无穷小.

等价无穷小

定理 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充要条件为 $\beta =\alpha +o(\alpha )$, 称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的主要部分. 用等价无穷小可以给出函数的近似表达式.

$eg$: $x\to 0,\sin x\sim x,1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

常用等价无穷小

当 $x\to 0$ 时

$\sin x\sim x$ $\tan x\sim x$ $\arcsin x\sim x$ $\arctan x\sim x$ $\ln (1+x)\sim x$ $e^x-1\sim x$ $a^x-1\sim x\ln a$ $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$ $(1+x{)}^a-1\sim ax(a\ne 0)$ $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$

等价无穷小替换

定理 设 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime },$ 存在 $\lim \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}$, 则 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\lim \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}$.

不可滥用等价无穷小代换 只能对乘积因子进行等价无穷小代换, 对代数和中各无穷小不能分别代换.

定理 设 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime },\beta \sim {\beta }^{\prime },\gamma \sim {\gamma }^{\prime },$ 存在 $\lim \frac{{\alpha }^{\prime }-{\beta }^{\prime }}{{\gamma }^{\prime }}$, 且 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=a\ne 0$, 则 $\lim \frac{\alpha -\beta }{\gamma }=\lim \frac{{\alpha }^{\prime }-{\beta }^{\prime }}{{\gamma }^{\prime }}$.

无穷小替换定理

在求极限的过程中, 只可对函数的乘积因子做无穷小代换.